	
\documentclass{article} % 文档类别: article, report, book, letter, 等等
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\title{$S_3$ 置换群及其性质}
\author{朱正路}
\date{\today  ver 1.1 } % 使用当前日期，也可以指定特定日期
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\lstset{
	language=Python,
	basicstyle=\ttfamily, % 使用等宽字体
	backgroundcolor=\color{white}, % 背景色设为白色，去除阴影效果
	keywordstyle=\relax, % 关闭关键字高亮
	commentstyle=\relax, % 关闭注释高亮
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	showstringspaces=false, % 不在字符串中显示空格
	numbers=none, % 不显示行号
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	breakatwhitespace=true, % 在空白处折行
	tabsize=4, % 设置 tab 宽度
}


\begin{document}
	\maketitle % 创建标题页
\section{枚举 6 种置换}
下面列出 6 种置换形式：
\begin{enumerate}
	\item 
	\[
	\begin{pmatrix}
		1 & 2 & 3 \\
		1 & 2 & 3
	\end{pmatrix}=(1)(2)(3)
	\]
	\item 
	\[
	\begin{pmatrix}
		1 & 2 & 3 \\
		2 & 1 & 3
	\end{pmatrix}=(12)(3)
	\]
	\item 
	\[
	\begin{pmatrix}
		1 & 2 & 3 \\
		1 & 3 & 2
	\end{pmatrix}=(1)(23)
	\]
	\item 
	\[
	\begin{pmatrix}
		1 & 2 & 3 \\
		3 & 2 & 1
	\end{pmatrix}=(13)(2)
	\]
	\item 
	\[
	\begin{pmatrix}
		1 & 2 & 3 \\
		2 & 3 & 1
	\end{pmatrix}=(123)
	\]
	\item 
	\[
	\begin{pmatrix}
		1 & 2 & 3 \\
		3 & 1 & 2
	\end{pmatrix}=(132)
	\]
\end{enumerate}
	
	\section{$S_3$ 置换群}
	
	$S_3$ 置换群是 3 个元素的对称群，它包含 6 个置换。下面将以循环表示法列出 $S_3$ 中的所有元素：
	
	\begin{enumerate}
		\item 恒等置换：
		\[
		\begin{pmatrix}
			1 & 2 & 3 \\
			1 & 2 & 3
		\end{pmatrix}=(1)(2)(3)
		\]
		\item 对换（两个元素交换）：
		\begin{enumerate}
			\item 
			\[
			\begin{pmatrix}
				1 & 2 & 3 \\
				2 & 1 & 3
			\end{pmatrix}=(12)(3)
			\]
			\item 
			\[
			\begin{pmatrix}
				1 & 2 & 3 \\
				1 & 3 & 2
			\end{pmatrix}=(1)(23)
			\]
			\item 
			\[
			\begin{pmatrix}
				1 & 2 & 3 \\
				3 & 2 & 1
			\end{pmatrix}=(13)(2)
			\]
		\end{enumerate}
		\item 3 - 循环（三个元素循环置换）：
		\begin{enumerate}
			\item 
			\[
			\begin{pmatrix}
				1 & 2 & 3 \\
				2 & 3 & 1
			\end{pmatrix}=(123)
			\]
			\item 
			\[
			\begin{pmatrix}
				1 & 2 & 3 \\
				3 & 1 & 2
			\end{pmatrix}=(132)
			\]
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\section{$S_3$ 群的同构群}

$S_3$ 群是 3 个元素的对称群，它的同构群有以下几种：

\subsection{二面体群 $D_3$}
$D_3$ 是正三角形的对称群，它包含 6 个元素，分别是恒等变换、绕中心旋转 $120^{\circ}$ 和 $240^{\circ}$ 以及关于三条对称轴的反射。可以建立 $S_3$ 与 $D_3$ 的同构映射，将 $S_3$ 中的置换对应到 $D_3$ 中的相应对称变换。例如，$S_3$ 中的恒等置换对应 $D_3$ 中的恒等变换，$(123)$ 和 $(132)$ 这两个 3 - 循环置换分别对应绕中心旋转 $120^{\circ}$ 和 $240^{\circ}$，而三个对换 $(12)$、$(13)$、$(23)$ 分别对应关于三条对称轴的反射。

\subsection{模 6 的剩余类加群 $(\mathbb{Z}_6, +)$ 的某个子群}
考虑 $(\mathbb{Z}_6, +)$ 中由 $\{0, 2, 4\}$ 构成的子群 $H$，其运算满足封闭性、结合律，有单位元 $0$，且每个元素都有逆元（$0$ 的逆元是 $0$，$2$ 的逆元是 $4$，$4$ 的逆元是 $2$）。可以定义一个从 $S_3$ 到 $H$ 的同构映射，例如，将 $S_3$ 中的恒等置换映射到 $0$，将 3 - 循环置换映射到 $2$ 和 $4$（具体对应方式可根据同构定义确定），将对换映射到 $2$ 或 $4$ 的适当组合，使得群运算保持一致。

\section{$S_3$ 群的子群}

$S_3$ 群是 3 个元素的对称群，它包含了 3 个元素所有可能的置换，群的阶（元素个数）为 $3!=6$。下面详细介绍 $S_3$ 群的子群情况。

\subsection{平凡子群}
\begin{itemize}
	\item **恒等子群**：$\{e\}$，其中 $e$ 是恒等置换，即 $(1)(2)(3)$。它是任何群都有的子群，满足子群的定义：对群运算封闭，包含单位元，且每个元素都有逆元（这里只有一个元素 $e$，它的逆元就是自身）。
	\item **群本身**：$S_3$ 自身也是 $S_3$ 的子群，这是显然的，因为它满足子群的所有性质。
\end{itemize}

\subsection{非平凡子群}
\begin{itemize}
	\item **二阶子群**：$S_3$ 有 3 个二阶子群，分别由对换生成。对换是指只交换两个元素位置的置换。
	\begin{itemize}
		\item $\langle(12)\rangle = \{e, (12)\}$
		\item $\langle(13)\rangle = \{e, (13)\}$
		\item $\langle(23)\rangle = \{e, (23)\}$
	\end{itemize}
	以 $\langle(12)\rangle$ 为例，$(12)(12)=e$，所以该集合对群运算封闭，包含单位元 $e$，且 $(12)$ 的逆元是 $(12)$ 本身，满足子群的定义。
	\item **三阶子群**：$S_3$ 有 1 个三阶子群，由 3 - 循环置换生成。
	\begin{itemize}
		\item $\langle(123)\rangle=\langle(132)\rangle = \{e, (123), (132)\}$
	\end{itemize}
	由于 $(123)(123)=(132)$，$(123)(132)=e$，该集合对群运算封闭，包含单位元 $e$，并且 $(123)$ 的逆元是 $(132)$，$(132)$ 的逆元是 $(123)$，符合子群的条件。
\end{itemize}

\subsection{子群的性质总结}
\begin{itemize}
	\item 根据拉格朗日定理，子群的阶一定是群的阶的因子。因为 $|S_3| = 6$，所以 $S_3$ 的子群的阶只能是 1、2、3 或 6，这与我们上面找出的子群的阶是相符的。
	\item 二阶子群是循环群，三阶子群也是循环群，而整个 $S_3$ 群是非交换群，但二阶和三阶子群都是交换群。
\end{itemize}


\section{$S_3$ 群中的偶置换群}

\subsection{置换的奇偶性定义}
在置换群中，一个置换可以分解为若干个对换（两个元素的交换）的乘积。如果一个置换可以表示为偶数个对换的乘积，那么它就是偶置换；如果可以表示为奇数个对换的乘积，那么它就是奇置换。

\subsection{$S_3$ 群的元素及其奇偶性分析}
$S_3$ 是 3 个元素的对称群，它的所有元素为：
\begin{itemize}
	\item 恒等置换 $(1)(2)(3)$：可以看作是 0 个对换的乘积（0 是偶数），所以它是偶置换。
	\item 对换 $(12)$、$(13)$、$(23)$：每个对换本身就是 1 个对换，所以它们是奇置换。
	\item 3 - 循环置换 $(123)$ 和 $(132)$：
	\begin{itemize}
		\item 对于 $(123)$，有 $(123)=(12)(23)$，它可以表示为 2 个对换的乘积，所以 $(123)$ 是偶置换。
		\item 对于 $(132)$，有 $(132)=(13)(32)$，同样可以表示为 2 个对换的乘积，所以 $(132)$ 是偶置换。
	\end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{$S_3$ 中的偶置换群}
$S_3$ 中的偶置换构成一个子群，称为 $S_3$ 的偶置换群，记为 $A_3$。$A_3 = \{(1)(2)(3),(123),(132)\}$。下面验证 $A_3$ 是一个群：
\begin{itemize}
	\item **封闭性**：
	\begin{itemize}
		\item 恒等置换 $(1)(2)(3)$ 与任何元素相乘都等于该元素本身，所以 $(1)(2)(3)$ 与 $(123)$、$(132)$ 相乘结果仍在 $A_3$ 中。
		\item $(123)(123)=(132)$，$(123)(132)=(1)(2)(3)$，$(132)(132)=(123)$，可见任意两个偶置换的乘积还是偶置换，满足封闭性。
	\end{itemize}
	\item **结合律**：由于 $S_3$ 是群，满足结合律，$A_3$ 作为 $S_3$ 的子集，自然也满足结合律。
	\item **单位元**：恒等置换 $(1)(2)(3)$ 是 $A_3$ 的单位元。
	\item **逆元**：
	\begin{itemize}
		\item $(1)(2)(3)$ 的逆元是它本身。
		\item $(123)$ 的逆元是 $(132)$，$(132)$ 的逆元是 $(123)$，每个元素在 $A_3$ 中都有逆元。
	\end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{$A_3$ 的性质}
\begin{itemize}
	\item **阶数**：$|A_3| = 3$，根据拉格朗日定理，子群的阶是群的阶的因子，$|S_3| = 6$，$3$ 是 $6$ 的因子。
	\item **循环群**：$A_3$ 是循环群，它可以由 $(123)$ 或 $(132)$ 生成，即 $A_3=\langle(123)\rangle=\langle(132)\rangle$。例如，$(123)^1=(123)$，$(123)^2=(132)$，$(123)^3=(1)(2)(3)$。
\end{itemize}

\section{置换群的乘法}
在置换群里，置换乘法通常采用从右向左的规则。下面从定义、原理、示例等方面详细讲解。
置换可看作是有限集合到自身的双射。当对两个置换进行乘法运算时，从右向左乘意味着先应用右边的置换，再应用左边的置换。这样规定是为了保证函数复合的一致性，因为置换本质上就是函数，而函数复合一般是从右向左进行的。

\subsection{示例说明}
设集合 \(S = \{1, 2, 3\}\)，考虑 \(S_3\) 中的两个置换 \(\sigma=(12)\) 和 \(\tau=(23)\)。

\subsection{单个置换的作用}
\begin{itemize}
	\item 置换 \(\sigma=(12)\) 表示将 \(1\) 与 \(2\) 交换，即 \(\sigma(1) = 2\)，\(\sigma(2)=1\)，\(\sigma(3)=3\)。
	\item 置换 \(\tau=(23)\) 表示将 \(2\) 与 \(3\) 交换，即 \(\tau(1) = 1\)，\(\tau(2)=3\)，\(\tau(3)=2\)。
\end{itemize}

\subsection{计算置换乘积 \(\sigma\tau\)（从右向左）}
按照从右向左的规则，先应用 \(\tau\) 再应用 \(\sigma\)：
\begin{itemize}
	\item 对于元素 \(1\)：
	\begin{itemize}
		\item 先应用 \(\tau\)，\(\tau(1)=1\)。
		\item 再应用 \(\sigma\)，\(\sigma(\tau(1))=\sigma(1) = 2\)。
	\end{itemize}
	\item 对于元素 \(2\)：
	\begin{itemize}
		\item 先应用 \(\tau\)，\(\tau(2)=3\)。
		\item 再应用 \(\sigma\)，\(\sigma(\tau(2))=\sigma(3) = 3\)。
	\end{itemize}
	\item 对于元素 \(3\)：
	\begin{itemize}
		\item 先应用 \(\tau\)，\(\tau(3)=2\)。
		\item 再应用 \(\sigma\)，\(\sigma(\tau(3))=\sigma(2) = 1\)。
	\end{itemize}
\end{itemize}

所以，\(\sigma\tau=(12)(23)=(123)\)。
\section{凯莱定理}
凯莱定理是指任何一个有限群都与一个对称群的子群同构。以下是凯莱定理的证明：

\textbf{证明}
设 \(G\) 是一个有限群，\(|G| = n\)。考虑 \(G\) 上的所有置换构成的对称群 \(S_G\)（它与 \(S_n\) 同构）。

对于每个 \(g\in G\)，定义一个映射 \(\varphi_g:G\rightarrow G\)，使得对于任意的 \(x\in G\)，\(\varphi_g(x)=gx\)。

首先证明 \(\varphi_g\) 是一个置换。
\begin{itemize}
	\item \textbf{双射性}：
	\begin{itemize}
		\item \textbf{单射}：若 \(\varphi_g(x)=\varphi_g(y)\)，即 \(gx = gy\)，根据群的消去律可得 \(x = y\)，所以 \(\varphi_g\) 是单射。
		\item \textbf{满射}：对于任意的 \(y\in G\)，取 \(x = g^{-1}y\)，则 \(\varphi_g(x)=\varphi_g(g^{-1}y)=g(g^{-1}y)=y\)，所以 \(\varphi_g\) 是满射。
	\end{itemize}
\end{itemize}

因此，\(\varphi_g\) 是 \(G\) 上的一个置换，即 \(\varphi_g\in S_G\)。

然后定义映射 \(\Phi:G\rightarrow S_G\)，\(\Phi(g)=\varphi_g\)。

接下来证明 \(\Phi\) 是群同态。
对于任意的 \(g_1,g_2\in G\)，以及任意的 \(x\in G\)，有：
\[
\Phi(g_1g_2)(x)=\varphi_{g_1g_2}(x)=(g_1g_2)x=g_1(g_2x)=\varphi_{g_1}(\varphi_{g_2}(x))=(\Phi(g_1)\circ\Phi(g_2))(x)
\]

所以 \(\Phi(g_1g_2)=\Phi(g_1)\circ\Phi(g_2)\)，\(\Phi\) 是群同态。

最后证明 \(\Phi\) 是单射。
若 \(\Phi(g_1)=\Phi(g_2)\)，即 \(\varphi_{g_1}=\varphi_{g_2}\)，那么对于任意的 \(x\in G\)，\(g_1x = g_2x\)，取 \(x = e\)（\(e\) 为 \(G\) 的单位元），可得 \(g_1 = g_2\)，所以 \(\Phi\) 是单射。

综上，\(G\) 与 \(\text{Im}(\Phi)\) 同构，而 \(\text{Im}(\Phi)\) 是 \(S_G\) 的子群，又因为 \(S_G\) 与 \(S_n\) 同构，所以 \(G\) 与对称群 \(S_n\) 的一个子群同构。

凯莱定理表明，任何有限群都可以在对称群中找到一个同构的“副本”，这为研究有限群提供了一个重要的途径，通过研究对称群的子群来研究有限群的性质。	
\section{对称群不是交换群}

要证明对称群不是交换群，只需找到一个对称群中的两个置换，它们的乘积不满足交换律即可。以对称群 \(S_3\) 为例进行证明。

在 \(S_3\) 中，考虑两个置换 \(\sigma=(1\ 2)\) 和 \(\tau=(1\ 3)\)。这里 \((1\ 2)\) 表示将 \(1\) 和 \(2\) 交换位置，\((1\ 3)\) 表示将 \(1\) 和 \(3\) 交换位置。

计算 \(\sigma\tau\)：
\begin{itemize}
	\item 先看 \(\tau\) 对数字的作用，\(1\) 变为 \(3\)，\(3\) 变为 \(1\)，\(2\) 不变。
	\item 再看 \(\sigma\) 对 \(\tau\) 作用结果的作用，\(\sigma\) 将 \(1\) 变为 \(2\)，\(2\) 变为 \(1\)，\(3\) 不变。
	\item 所以 \(\sigma\tau=(1\ 3\ 2)\)，即 \(1\) 变为 \(3\)，\(3\) 变为 \(2\)，\(2\) 变为 \(1\)。
\end{itemize}

计算 \(\tau\sigma\)：
\begin{itemize}
	\item 先看 \(\sigma\) 对数字的作用，\(1\) 变为 \(2\)，\(2\) 变为 \(1\)，\(3\) 不变。
	\item 再看 \(\tau\) 对 \(\sigma\) 作用结果的作用，\(\tau\) 将 \(1\) 变为 \(3\)，\(3\) 变为 \(1\)，\(2\) 不变。
	\item 所以 \(\tau\sigma=(1\ 2\ 3)\)，即 \(1\) 变为 \(2\)，\(2\) 变为 \(3\)，\(3\) 变为 \(1\)。
\end{itemize}

由于 \(\sigma\tau=(1\ 3\ 2)\neq(1\ 2\ 3)=\tau\sigma\)，即在对称群 \(S_3\) 中存在两个置换 \(\sigma\) 和 \(\tau\)，使得 \(\sigma\tau\neq\tau\sigma\)，所以对称群 \(S_3\) 不是交换群。

因为 \(S_3\) 是对称群的一种，所以可以得出对称群不是交换群。

\section{对称群有些时候是伽罗瓦群}

伽罗瓦群是域扩张对称性的体现，它由保持基域元素不变的扩张域的自同构组成。对称群 \(S_n\) 是 \(n\) 个元素的所有置换构成的群，其阶为 \(n!\)。在伽罗瓦理论中，对于某些多项式方程，其分裂域的伽罗瓦群可以是对称群。也就是说，对称群可以作为某些域扩张的伽罗瓦群出现，但并非所有伽罗瓦群都是对称群，伽罗瓦群的结构取决于所研究的域扩张和对应的多项式。


\subsection{二次多项式与 \(S_2\) 对称群}
考虑二次多项式 \(f(x)=x^{2}+bx + c\)，根据求根公式，它的根为 \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4c}}{2}\)。它在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的分裂域是 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{b^{2}-4c})\)。

伽罗瓦群 \(Gal(K/\mathbb{Q})\) 由保持 \(\mathbb{Q}\) 中元素不变的 \(K\) 的自同构组成。这里自同构只有两种情况：
\begin{itemize}
	\item 恒等自同构 \(\sigma_1\)：将 \(x_1\) 映射到 \(x_1\)，\(x_2\) 映射到 \(x_2\)，对应 \(S_2\) 中的恒等置换 \((1)(2)\)。
	\item 另一个自同构 \(\sigma_2\)：将 \(x_1\) 映射到 \(x_2\)，\(x_2\) 映射到 \(x_1\)，对应 \(S_2\) 中的对换 \((12)\)。
\end{itemize}
所以，二次多项式 \(f(x)\) 的伽罗瓦群 \(Gal(K/\mathbb{Q})\) 同构于 \(S_2\)。

\subsection{三次多项式与 \(S_3\) 对称群}
以三次多项式 \(f(x)=x^{3}-2\) 为例，它的根为 \(\sqrt[3]{2}\)，\(\omega\sqrt[3]{2}\)，\(\omega^{2}\sqrt[3]{2}\)，其中 \(\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\) 是三次单位根。它在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的分裂域 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)\)。

\(Gal(K/\mathbb{Q})\) 的元素个数为 \([K:\mathbb{Q}]=[K:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=2\times3 = 6\)。这些自同构对应着根的不同置换：
\begin{itemize}
	\item 恒等自同构：对应 \(S_3\) 中的恒等置换 \((1)(2)(3)\)。
	\item 只交换其中两个根的自同构：如交换 \(\sqrt[3]{2}\) 和 \(\omega\sqrt[3]{2}\)，对应 \(S_3\) 中的对换，例如 \((12)(3)\)。
	\item 三个根循环置换的自同构：如将 \(\sqrt[3]{2}\) 映射到 \(\omega\sqrt[3]{2}\)，\(\omega\sqrt[3]{2}\) 映射到 \(\omega^{2}\sqrt[3]{2}\)，\(\omega^{2}\sqrt[3]{2}\) 映射到 \(\sqrt[3]{2}\)，对应 \(S_3\) 中的 \(3 -\) 循环置换 \((123)\) 或 \((132)\) 等。
\end{itemize}
所以，\(x^{3}-2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上的伽罗瓦群 \(Gal(K/\mathbb{Q})\) 同构于 \(S_3\)。

\subsection{五次多项式与 \(S_5\) 对称群}
考虑五次多项式 \(f(x)=x^{5}-x - 1\)，它在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上是不可约的（可通过艾森斯坦判别法等方法判断）。它的五个根的所有可能置换共有 \(5!=120\) 种。

伽罗瓦群 \(Gal(K/\mathbb{Q})\)（\(K\) 为其分裂域）由保持 \(\mathbb{Q}\) 中元素不变的 \(K\) 的自同构组成，这些自同构恰好对应着这五个根的所有置换，所以 \(x^{5}-x - 1\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上的伽罗瓦群同构于 \(S_5\)。


从上述例子可以看出，对于不同次数的多项式，在合适的条件下，其分裂域的伽罗瓦群可以同构于相应的对称群 \(S_n\)。然而，判断一个多项式的伽罗瓦群是否为对称群并非易事，通常需要运用伽罗瓦理论的相关知识和方法进行深入分析，包括研究多项式的可约性、分裂域的性质、域扩张的次数等。

\section{\(S_3\) 同构置换的图形展示}

\(S_3\) 与二面体群 \(D_3\) 同构，我们以正三角形的对称变换来表示 \(S_3\) 的置换。以下是 \(S_3\) 中不同置换对应的图形效果：

\begin{tikzpicture}[scale = 1.5]
	% 绘制原始正三角形
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (B) at (2,0);
	\coordinate (C) at (1,{sqrt(3)});
	\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
	\node[below left] at (A) {1};
	\node[below right] at (B) {2};
	\node[above] at (C) {3};
	\node[above = 0.5cm of C] {原始状态};
	
	% 恒等置换
	\begin{scope}[shift={(4,0)}]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (2,0);
		\coordinate (C) at (1,{sqrt(3)});
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
		\node[below left] at (A) {1};
		\node[below right] at (B) {2};
		\node[above] at (C) {3};
		\draw[->, thick] (A) to[out = -30, in = 180] (A);
		\draw[->, thick] (B) to[out = -150, in = 0] (B);
		\draw[->, thick] (C) to[out = 90, in = 270] (C);
		\node[above = 0.5cm of C] {恒等置换 \((1)(2)(3)\)};
	\end{scope}
	
	% 对换 (12)
	\begin{scope}[shift={(8,0)}]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (2,0);
		\coordinate (C) at (1,{sqrt(3)});
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
		\node[below left] at (A) {2};
		\node[below right] at (B) {1};
		\node[above] at (C) {3};
		\draw[->, thick] (A) to[out = -30, in = 180] (B);
		\draw[->, thick] (B) to[out = -150, in = 0] (A);
		\draw[->, thick] (C) to[out = 90, in = 270] (C);
		\node[above = 0.5cm of C] {对换 \((12)(3)\)};
	\end{scope}
	
	% 对换 (13)
	\begin{scope}[shift={(0,-3)}]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (2,0);
		\coordinate (C) at (1,{sqrt(3)});
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
		\node[below left] at (A) {3};
		\node[below right] at (B) {2};
		\node[above] at (C) {1};
		\draw[->, thick] (A) to[out = -30, in = 180] (C);
		\draw[->, thick] (B) to[out = -150, in = 0] (B);
		\draw[->, thick] (C) to[out = -150, in = 0] (A);
		\node[above = 0.5cm of C] {对换 \((13)(2)\)};
	\end{scope}
	
	% 对换 (23)
	\begin{scope}[shift={(4,-3)}]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (2,0);
		\coordinate (C) at (1,{sqrt(3)});
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
		\node[below left] at (A) {1};
		\node[below right] at (B) {3};
		\node[above] at (C) {2};
		\draw[->, thick] (A) to[out = -30, in = 180] (A);
		\draw[->, thick] (B) to[out = -150, in = 0] (C);
		\draw[->, thick] (C) to[out = -150, in = 0] (B);
		\node[above = 0.5cm of C] {对换 \((23)(1)\)};
	\end{scope}
	
	% 3 - 循环 (123)
	\begin{scope}[shift={(8,-3)}]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (2,0);
		\coordinate (C) at (1,{sqrt(3)});
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
		\node[below left] at (A) {2};
		\node[below right] at (B) {3};
		\node[above] at (C) {1};
		\draw[->, thick] (A) to[out = 30, in = 180] (C);
		\draw[->, thick] (B) to[out = -120, in = 0] (A);
		\draw[->, thick] (C) to[out = -60, in = 120] (B);
		\node[above = 0.5cm of C] {3 - 循环 \((123)\)};
	\end{scope}
	
	% 3 - 循环 (132)
	\begin{scope}[shift={(0,-6)}]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (2,0);
		\coordinate (C) at (1,{sqrt(3)});
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
		\node[below left] at (A) {3};
		\node[below right] at (B) {1};
		\node[above] at (C) {2};
		\draw[->, thick] (A) to[out = -30, in = 120] (B);
		\draw[->, thick] (B) to[out = 60, in = -120] (C);
		\draw[->, thick] (C) to[out = -150, in = 60] (A);
		\node[above = 0.5cm of C] {3 - 循环 \((132)\)};
	\end{scope}
\end{tikzpicture}
通过以上图形，我们可以直观地看到 \(S_3\) 中各种置换对正三角形顶点的作用，这也体现了 \(S_3\) 与二面体群 \(D_3\) 同构时的置换结构。

\section{\(S_3\)的正规子群和商群}
\subsection{回顾 \(S_3\) 群的结构}
\(S_3\) 是 \(3\) 个元素的对称群，它包含 \(6\) 个元素，即
\[
S_3 = \{ (1), (12), (13), (23), (123), (132) \}
\]
其中 \((1)\) 是恒等置换，\((12)\)、\((13)\)、\((23)\) 是对换，\((123)\) 和 \((132)\) 是 \(3 -\) 循环置换。\(S_3\) 的阶 \(\vert S_3\vert = 6\)。

\subsection{确定 \(S_3\) 的正规子群}
根据拉格朗日定理，子群的阶是群的阶的因子，\(6\) 的正因子有 \(1\)、\(2\)、\(3\) 和 \(6\)。

\subsubsection{平凡子群}
\begin{itemize}
	\item 子群 \(H_1 = \{ (1) \}\)，它是 \(S_3\) 的正规子群，因为对于任意 \(g \in S_3\)，都有 \(gH_1g^{-1} = H_1\)。
	\item 子群 \(H_4 = S_3\)，它也是 \(S_3\) 的正规子群，因为对于任意 \(g \in S_3\)，\(gH_4g^{-1} = H_4\)。
\end{itemize}

\subsubsection{非平凡子群}
\begin{itemize}
	\item 考虑 \(H_2 = \{ (1), (123), (132) \}\)，这是一个 \(3\) 阶子群，并且是正规子群。可以通过验证对于任意 \(g \in S_3\)，\(gH_2g^{-1} = H_2\) 来证明。例如，若 \(g = (12)\)，
	\begin{align*}
		(12)(1)(12) &= (1) \\
		(12)(123)(12) &= (132) \\
		(12)(132)(12) &= (123)
	\end{align*}
	\item 而 \(2\) 阶子群，如 \(H_3 = \{ (1), (12) \}\) 不是正规子群。因为若 \(g = (13)\)，\((13)(1)(13) = (1)\)，\((13)(12)(13) = (23) \notin H_3\)。
\end{itemize}

\subsection{计算商群}
商群是由正规子群的左陪集（或右陪集，对于正规子群二者相同）构成的群。

\subsubsection{商群 \(S_3/H_1\)}
由于 \(H_1 = \{ (1) \}\)，对于任意 \(g \in S_3\)，左陪集 \(gH_1 = \{ g \}\)。所以
\[
S_3/H_1 = \{ \{ (1) \}, \{ (12) \}, \{ (13) \}, \{ (23) \}, \{ (123) \}, \{ (132) \} \}
\]
并且 \(S_3/H_1\) 与 \(S_3\) 同构。

\subsubsection{商群 \(S_3/H_2\)}
\(H_2 = \{ (1), (123), (132) \}\)，\(S_3\) 中关于 \(H_2\) 的左陪集有：
\begin{align*}
	H_2 &= \{ (1), (123), (132) \} \\
	(12)H_2 &= \{ (12), (12)(123), (12)(132) \} = \{ (12), (23), (13) \}
\end{align*}
所以 \(S_3/H_2 = \{ H_2, (12)H_2 \}\)，这是一个 \(2\) 阶循环群，与 \(\mathbb{Z}_2\) 同构。

\subsubsection{商群 \(S_3/H_4\)}
因为 \(H_4 = S_3\)，左陪集只有一个 \(S_3H_4 = S_3\)，所以 \(S_3/H_4 = \{ S_3 \}\)，这是一个 \(1\) 阶平凡群。

综上所述，\(S_3\) 的商群有 \(S_3/H_1 \cong S_3\)，\(S_3/H_2 \cong \mathbb{Z}_2\) 和 \(S_3/H_4\)（平凡群）。

\section{\(S_2\) 和 \(\mathbb{Z}_2\) 是同构的}

\subsection{群的基本概念回顾}
- **对称群 \(S_2\)**：\(S_2\) 是两个元素的对称群，若这两个元素记为 \(1\) 和 \(2\)，那么 \(S_2\) 包含两个置换，分别是恒等置换 \(e=(1)(2)\)（它使得 \(1\) 映射到 \(1\)，\(2\) 映射到 \(2\)）以及对换 \(\sigma=(12)\)（它使得 \(1\) 映射到 \(2\)，\(2\) 映射到 \(1\)），即 \(S_2 = \{e, \sigma\}\)，群运算为置换的复合。

- **整数模 \(2\) 剩余类群 \(\mathbb{Z}_2\)**：\(\mathbb{Z}_2=\{[0],[1]\}\)，其中 \([0]\) 是模 \(2\) 同余类中包含所有偶数的集合，\([1]\) 是模 \(2\) 同余类中包含所有奇数的集合，群运算为模 \(2\) 加法，例如 \([0]+[0]=[0]\)，\([0]+[1]=[1]\)，\([1]+[0]=[1]\)，\([1]+[1]=[0]\)。

\subsection{同构映射的构造}
构造一个映射 \(\varphi:S_2\rightarrow\mathbb{Z}_2\)，使得 \(\varphi(e)=[0]\)，\(\varphi(\sigma)=[1]\)。

\subsection{同构的验证}
要证明 \(\varphi\) 是同构映射，需验证它满足以下两个条件：

- **双射性**

- **单射**：假设 \(\varphi(x)=\varphi(y)\)，\(x,y\in S_2\)。因为 \(\varphi\) 的定义中，\(\varphi(e)=[0]\)，\(\varphi(\sigma)=[1]\)，不同的原像对应不同的像，所以若 \(\varphi(x)=\varphi(y)\)，则必然有 \(x = y\)，因此 \(\varphi\) 是单射。

- **满射**：对于 \(\mathbb{Z}_2\) 中的任意元素，\([0]\) 有原像 \(e\)，\([1]\) 有原像 \(\sigma\)，即 \(\mathbb{Z}_2\) 中的每个元素都能找到 \(S_2\) 中的元素与之对应，所以 \(\varphi\) 是满射。
- 由于 \(\varphi\) 既是单射又是满射，所以 \(\varphi\) 是双射。

- **保持群运算**
需要验证对于任意的 \(x,y\in S_2\)，都有 \(\varphi(xy)=\varphi(x)+\varphi(y)\)（这里 \(xy\) 是 \(S_2\) 中的群运算，即置换复合；\(+\) 是 \(\mathbb{Z}_2\) 中的群运算，即模 \(2\) 加法）。
\begin{itemize}
	\item 当 \(x = e\)，\(y = e\) 时，\(xy=e\)，\(\varphi(xy)=\varphi(e)=[0]\)，\(\varphi(x)+\varphi(y)=\varphi(e)+\varphi(e)=[0]+[0]=[0]\)。
	\item 当 \(x = e\)，\(y=\sigma\) 时，\(xy=\sigma\)，\(\varphi(xy)=\varphi(\sigma)=[1]\)，\(\varphi(x)+\varphi(y)=\varphi(e)+\varphi(\sigma)=[0]+[1]=[1]\)。
	\item 当 \(x=\sigma\)，\(y = e\) 时，\(xy=\sigma\)，\(\varphi(xy)=\varphi(\sigma)=[1]\)，\(\varphi(x)+\varphi(y)=\varphi(\sigma)+\varphi(e)=[1]+[0]=[1]\)。
	\item 当 \(x=\sigma\)，\(y=\sigma\) 时，\(xy = e\)（因为两次对换 \((12)\) 的复合是恒等置换），\(\varphi(xy)=\varphi(e)=[0]\)，\(\varphi(x)+\varphi(y)=\varphi(\sigma)+\varphi(\sigma)=[1]+[1]=[0]\)。
\end{itemize}

由于存在一个双射 \(\varphi:S_2\rightarrow\mathbb{Z}_2\)，并且 \(\varphi\) 保持群运算，所以 \(S_2\) 和 \(\mathbb{Z}_2\) 同构。
\end{document}    